Priemgetallen 2: De jacht op een priem

Net als scheikundigen vaak jaren hebben gezocht naar een bepaald element (denk maar aan het verhaal van Marie en Pierre Curie), en net als biologen de wereld hebben afgezocht op zoek naar nieuwe, onontdekte soorten, zo hebben wiskundigen onverdroten jacht gemaakt op nieuwere (grotere) priemgetallen. 

Bron: Math Goes Pop! , CC BY-NC 4.0

 

Zo was er de Fransman Pierre de Fermat (1607-1665). Hij geloofde dat elk getal dat voldoet aan de volgende vergelijking (een fermatgetal genoemd), een priemgetal is:

Jammer genoeg geldt dit enkel voor de eerste vijf van die fermatgetallen: 

20 = 1    F0 = 21+1 = 3

21 = 2    F1 = 22+1 = 5

22 = 4    F2 = 24+1 = 17

23 = 8    F3 = 28+1 = 257

24 = 16    F4 = 216+1 = 65537

 

en bleek uit rekenwerk van Euler dan F5 geen priemgetal meer is: 

25 = 32    F5 = 232+1 = 4 294 967 297 = 641 x 6 700 417

(en eigenlijk is, voor zover we weten, geen enkel ander fermatgetal een priemgetal)

 

Een gelijkaardige benadering door zijn landgenoot Marin Mersenne (1588-1648) had meer succes.  Een mersennegetal is een getal dat precies één kleiner is dan een macht van twee:

Een aantal van deze getallen blijken priemgetallen te zijn. Het éénenvijftigste mersennepriemgetal, [282 589 933−1], is overigens doorgerekend in december 2018, en jawel, het is tot nog toe het grootst bekende priemgetal. Alleen bleek ook hier dat er geen regelmaat zat in het systeem. Waar het er eerst op leek dat een mersennegetal enkel priem was wanneer de macht (n in de vergelijking) zelf een priemgetal was, werd ook die hypothese snel verlaten. 211 – 1 = 2047, en dat is gelijk aan 23 x 89. Terug naar af, weer geen manier om priemgetallen gemakkelijk te voorspellen.

Ook de beroemde Leonhard Euler waagde zijn kans. Euler, ongetwijfeld de wiskundige die het meeste gepubliceerd heeft van allemaal, hield van het berekenen van priemgetallen. Hij vond dat de vergelijking x2 + x + 41 in staat was om een 39 priemgetallen te berekenen (met x gelijk aan 1, 2, 3, …), maar geraakte ook niet verder. 

 

Leonhard Euler (Basel, Zwitserland, 1707 – Sint-Petersburg, Rusland, 1783), een van de grootste en meest productieve wiskundigen aller tijden, maar ook actief als natuurkundige, astronoom, geograaf, logicus en ingenieur. Zijn werk werd ondertussen uitgegeven in 74 massieve boeken (zijn Opera omnia). Hij studeerde onder de al even grote wiskundige Johann Bernouilli, werkte aan het hof van tsarina Catharina de Grote en aan de Academie van Berlijn op vraag van koning Frederick de Grote van Pruisen. Enkele van zijn vele ontdekkingen zijn het verband tussen complexe getallen en het transcendente getal e (uit de exponentiële functie), de grondslagen van de topologie en de grafentheorie, de golftheorie van het licht. Als ingenieur rekende hij vloeistofstromingen en spanningen in steunpilaren van constructies uit, en hij sloeg de brug tussen de theorieën van Newton en Leibniz over afgeleiden. En… hij legde de basis voor onze kennis over priemgetallen. 

Euler was ook een vroom christen. Een wellicht verzonnen verhaal gaat de ronde over een confrontatie tussen hemzelf en de atheïstische filosoof Denis Diderot. Op vraag van Catharina de Grote trad Euler in debat met Diderot over het bestaan van God. Zijn argument bestond erin dat hij Diderot toesprak met de woorden “Mijnheer, (a+bn)/n = x, en daaruit volgt dat God bestaat. Diderot zou uit pure schaamte dat hij van wiskunde niets begreep, het debat en het Russische hof hebben verlaten. Verzonnen, want Diderot wist wel degelijk iets af van wiskunde.

        Schilderij van Jakob Emanuel Handmann, Deutsches Museum, Munchen. Publiek domein. 

 

Wat na al die pogingen duidelijk werd, is dat er niet meteen enige orde te vinden is in het systeem van de priemgetallen. Twee citaten van wiskundigen, het een van Leonhard Euler van 2 eeuwen terug, en het ander van Don Zagier, de huidige directeur van het Max Planck-instituut in Bonn, maken dat snel duidelijk: 

Wiskundigen hebben tot de dag van vandaag tevergeefs getracht om enige regelmaat in de volgorde van de priemgetallen te ontdekken, en we hebben reden om te geloven dat [de verdeling van de priemgetallen] een mysterie is, waarin de geest nooit zal doordringen.

Leonhard Euler

 

…ondanks hun eenvoudige definitie en rol als bouwstenen van de natuurlijke getallen, de priemgetallen tussen de natuurlijke getallen als onkruid groeien, waarbij zij schijnbaar aan geen andere wet dan aan de wetten van het toeval gehoorzamen, en niemand kan voorspellen, waar het volgende priemgetal zal opduiken…

Don Zagier

 

Een bredere kijk op de zaak

In de loop van de achttiende en negentiende eeuw begonnen wiskundigen echter op een andere manier te kijken naar priemgetallen. In plaats van te zoeken naar een systeem om het volgende priemgetal te voorspellen, zochten ze naar manieren om te kijken hoe priemgetallen verdeeld zitten doorheen de rij van de natuurlijke getallen. Gauss introduceerde bijvoorbeeld de functie π(x): het aantal priemgetallen dat kleiner is dan x (en niet te verwarren met het getal pi, 3,1415926…). Bovendien stelde hij twee andere functies voor, die die functie π(x) benaderen – dat wil zeggen, die een begrijpelijke wiskundige kromme opleveren die hopelijk zeer dicht, en ideaal gesproken exact beschrijft hoe die π(x) zou kunnen, of moeten verlopen. Al betekent het begrip “begrijpelijk” voor niet-wiskundigen altijd net iets anders dan voor wiskundigen als Gauss. 

De twee functies van Gauss zijn deze twee:


 

Beide functies zijn echter niet meer dan dat: benaderingen van de echte verdeling van de priemgetallen. Op onderstaand figuur staat de functie om priemgetallen te tellen (π(x)) in het blauw, de functie f(x) van hierboven in het groen, en de functie Li(x) in het zwart (en nog een poging in het rood). Goede pogingen inderdaad, maar echt correct kunnen we geen van beide benaderingen echt noemen...

 

Bron: Vartziotis, D., & Wipper, J. (2017). The fractal nature of an approximate prime counting function. Fractal and Fractional, 1(1), 10.

Het was de Duitse wiskundige Bernhard Riemann die in 1859 echter een cruciale stap zette in de oplossing van het raadsel van de verdeling van de priemgetallen. In een zeer korte publicatie, Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse, "Over het aantal priemgetallen minder dan een gegeven grootte" beschrijft hij een speciale functie, de zèta-functie, die exact kan voorspellen hoe de priemgetallen verspreid zitten in de rij van de natuurlijke getallen. Daarvoor heeft hij alle nulpunten van zijn zèta-functie nodig, en die helpen hem dan om Gauss’ functie π(x) heel nauwkeurig uit te rekenen. 

Voor wie graag iets meer wil weten, moeten we even wat technischer worden. Om te beginnen is er die beruchte zèta-functie:

en de nulpunten ervan zijn de waarden van s waarvoor die hele lange som gelijk wordt aan nul. Die s stelt overigens een complex getal voor, en ook dat begrip vergt wat uitleg (en die vind je hier). Niet dat het begrip zo nieuw is in de wiskunde (complexe of, zoals ze toen heetten, imaginaire getallen duiken immers al op in de zestiende eeuw), wel omdat ze niet echt vaak voorkomen in de lessen wiskunde in het middelbaar onderwijs, en omdat vele mensen er daardoor nog nooit van gehoord hebben. Maar terug naar Riemann. 

In zijn publicatie stelt Riemann dat de zèta-functie twee sets nulpunten heeft: een reeks reële, even, negatieve getallen (de blauwe cirkels op de grafiek), en een reeks complexe getallen die allemaal ½ als reëel deel hebben (de rode cirkels op de grafiek).

 

Met behulp van die tweede reeks kan hij een nieuwe vergelijking definiëren (weer zo een lange optelsom als de zèta-functie) en hoe meer nulpunten van ζ hij in die nieuwe vergelijking stopt, hoe beter die aansluit bij het gekende verloop van de priemgetallen. In het ideaal geval: als we al die nulpunten kennen, dan kunnen we perfect voorspellen welke nieuwe grote getallen priemgetallen zijn en welke niet. 

De simulatie hieronder laat zien wat er gebeurt. De rode curve is de telfunctie, de blauwe is de functie van Riemann, waarin een voor een de nulpunten van de zèta-functie worden ingevuld. Langzamerhand begint de blauwe functie het verloop van de rode functie te volgen.

Bron: Daniel Hutama, Wikimedia, CC BY-SA 4.0

 

Er is echter een groot probleem met de zèta-functie. Riemann veronderstelt dat hij weet waar hij de nulpunten ervan moet zoeken (op een rechte in het complexe vlak met reële waarde ½), maar levert nooit een strikt bewijs dat die veronderstelling ook klopt. Als Riemann gelijk heeft, dan is het grote raadsel over de priemgetallen weer wat verder opgelost. Meer nog – heel wat wiskundigen na hem zijn er evenzeer van uitgegaan dat Riemann gelijk heeft, en hebben daar heel wat nieuwe wiskunde op gebaseerd. En wellicht heeft hij gelijk, want ook al die nieuwe wiskunde van na hem zit logisch in mekaar. Maar zo werkt de wiskunde nu eenmaal niet: om een wiskundige te overtuigen is hard bewijs nodig, dat logisch onaantastbaar is en waar geen speld is tussen te krijgen.  Tot op de dag van vandaag is de Riemannhypothese (namelijk dat hij weet waar die nulpunten van zijn functie liggen) daarom een van de grootste onopgeloste problemen in de wiskunde, en er ligt een miljoen dollar klaar voor wie als eerste het onomstotelijk bewijs levert dat ze klopt (of niet). Riemann zelf stierf op 39-jarige leeftijd, zeven jaar na zijn beroemde publicatie. Het is sindsdien wachten op een volgende rijzende ster om ons meer te vertellen over de priemgetallen.

 

Deze blogpost is een aanvulling op Elementair, onze podcast over wetenschap, te vinden op Spotify en op Libsyn.

Deze podcast wordt gesteund door het Fonds Ernest Solvay via de Koning Boudewijnstichting

Geplaatst door Geert op 21/02/2020 om 21:41