Van natuurlijk naar complex: getallenverzamelingen

Doorheen de geschiedenis hebben mensen leren werken met steeds grotere getalverzamelingen. Bij het tellen van de appeloogst of de grootte van de kudde schapen gebruikten landbouwers en herders de natuurlijke getallen - 1, 2, 3… Merk op dat de nul daar niet meteen bij werd gerangschikt. In de loop van de eeuwen ontwikkelde de mens wel verschillende manieren om “niets” te schrijven, maar het is pas echt bij de invoering van de Arabische cijfers en van het tiendelig talstelsel (wat we vandaag nog steeds gebruiken) dat een symbool “0” echt deel is beginnen uitmaken van ons geheel van cijfers. 

 

Getallen in de Babylonische cultuur (in spijkerschrift)
Bron:Josell7, Wikimedia, CC BY-SA 4.0

Een eerste uitbreiding van die natuurlijke getallen kwam er doordat ook negatieve getallen noodzakelijk waren om te kunnen rekenen. De Griekse wiskundige Diophantus (3de eeuw n. Chr.) probeerde zo in zijn boek Arithmetica (“Rekenkunde”) bv. een antwoord te geven op de vergelijking 4x + 20 = 0. Vandaag draaien we ons hand daar niet meer voor om en zeggen we dat x dan gelijk is aan -5, maar voor Diophantus en zijn tijdgenoten was dat nog een absurd idee. Nochtans waren Chinese wiskundigen al wel vertrouwd met de negatieve getallen: in De negen hoofdstukken van de wiskundige kunst (Jiu zhang suan-shu, een boek dat dateert uit de periode van de Han-dynastie (202 v.Chr. - 220 n.Chr.) wordt er immers al vlot mee gerekend. Een Indisch manuscript, de Bakshali, dat ergens tussen de derde en de negende eeuw n. Chr. moet zijn geschreven, werkt ook al met negatieve getallen (en met nul). Indiase wiskundigen zoals Brahmagupta interpreteren negatieve getallen als schulden. Ook gebruikt hij ze om bepaalde vierkantsvergelijkingen op te lossen. 

 

Detail van het Bakshali-manuscript, met aanduiding van het Indische symbool voor nul.
Publiek domein.

Via Islamitische geleerden bereikten deze inzichten uiteindelijk ook de Europese beschaving… zonder veel brokken te maken, echter, Tot ver in de 17de eeuw bleven Europese wiskundigen, net als hun voorganger Diophantus, de hele notie van negatieve getallen absurd vinden. Fibonacci (1170-1250) gebruikte ze wel in zijn Liber Abaci en Flos als manier om financiële schulden of handelsverliezen te berekenen, maar verder deden zijn geestesgenoten vooral veel moeite om negatieve getallen te vermijden. De Italiaan Gerolamo Cardano (1501-1576) weigerde pertinent om negatieve getallen te bekomen bij het uitwerken van derdegraadsvergelijkingen en vond daarom dat x3 + ax = b een fundamenteel andere soort vergelijking moest zijn dan x3 = ax + b (met a,b > 0). Het duurde tot Leibniz en zijn differentiaalrekening voor de negatieve getallen systematisch werden gebruikt, en dan hebben we het toch al over het einde van de zeventiende eeuw. 

Noteer wel dat we ondertussen de natuurlijke en de negatieve getallen samenbrengen in de gehele getallen.

 

Over breuken en wortels: rationale en irrationale getallen

Heel anders verging het bij de ontdekking en de invoering van de rationale getallen. Rationale getallen zijn getallen die kunnen geschreven worden als een breuk: ?, 12/26, of 2 (want dat is dan weer gelijk aan 250/125). De naam komt van het Latijnse woord ratio, verhouding. Z|o gebruikten de Babyloniërs meer dan 4000 jaar geleden al een vorm van breuken. Omdat de basis van hun telsysteem niet 10 maar 60 was, dienden ze af en toe hoeveelheden als een zestigste of een drieduizend zeshonderdste weer te geven. 

Ook de Egyptenaren hadden een systeem om rationale getallen voor te stellen. Ze deden dat op een geheel eigen wijze: door sommen van een reeks van unieke eenheidsbreuken (breuken waarvan de teller gelijk is aan één, en de noemer telkens verschillend). Zo is 

2/5 = 1/3 + 1/15 

3/4 = 1/2 + 1/4

6/7 = 1/2 + 1/3 + 1/42

12/13 = 1/2+1/3+1/12+1/156

In een latere periode lieten ze ook het gebruik van de breuken 2/3 en 3/4 toe, maar over het algemeen is dit voor ons een vrij omslachtige manier om met breuken om te gaan.

En dan waren er de Grieken, en vooral Pythagoras (570-495 v. Chr.) en zijn leerlingen. Voor hen waren getallen haast een heilig gegeven, een teken dat de natuur uit eenvoudige verhoudingen bestond (de gehele getallen) die in nette verhoudingen voorkwamen (de rationale getallen van vandaag). Ze werkten (zoals we al eerder schreven) een heel systeem uit rond de harmonie van tonen, en zagen getallen in de rekenkunde en lijnstukken in de meetkunde als perfecte equivalenten van mekaar. Groot was hun verbazing toen ze vaststelden dat de diagonaal van een vierkant van 1 op 1… niet als een breuk kon worden uitgedrukt. Ondertussen (ja, door het uit te rekenen met de Stelling van diezelfde Pythagoras) weten we dat de lengte van die diagonaal gelijk is aan de vierkantswortel van 2. En dat kan je inderdaad niet als een breuk schrijven, en we kunnen zelfs bewijzen dat dat niet lukt.

En dat was niet het enige niet te rationaliseren, niet tot een breuk te verengen getal. Ook de verhouding tussen de omtrek van een cirkel en de diameter van die cirkel kunnen we niet netjes terugbrengen tot een eenvoudige breuk, maar blijft het getal pi (π), een irrationaal getal, enkel benaderbaar met een breuk (22/7, zo vond Archimedes, en hij wist al dat dat slechts bij benadering juist was) maar nooit gelijk aan een breuk. Toch niet voor zover we vandaag de dag weten, en dat is na meer dan 13 triljoen cijfers na de komma te hebben berekend.

π behoort zelfs tot een speciaal soort irrationale getallen: de transcendente getallen, die nooit zullen opduiken als de oplossing van een veeltermvergelijking met gehele machten. Bij wijze van voorbeeld: 

  • 2sqrt{2} is de oplossing van de veeltermvergelijking x2 - 2 = 0 en is dus niet transcendent
  • de gulden snede φ is de oplossing van φ2- φ -1 = 0 en is dus ook niet transcendent
  • π en e zijn dat dan weer wel: e komt voor in vergelijkingen die de natuurlijke logaritme gebruiken (maar die telt niet volgens de definitie), en π is uiteraard de oplossing voor goniometrische vergelijkingen (met cosinussen en tangens).  

Het transcendente karakter van π betekent meteen dat we nooit in staat zijn om met passer en liniaal een vierkant te tekenen met dezelfde oppervlakte als een gegeven cirkel. 

 

Van reëel naar complex

De rationale en irrationale getallen vormen samen de reële getallen - meteen de getallenverzameling die we meestal gebruiken als we een continue veranderlijke waarde beschrijven: een waarde die eender welke waarde kan aannemen, zoals een temperatuur, een druk, een snelheid of een lengte. De reële getallen worden daarom standaard weergegeven op een doorlopende rechte, en we gaan ervan uit dat tussen elke twee reële getallen er toch weer minstens één nieuw reëel getal te vinden is. Daarmee staan ze tegenover, pakweg, de natuurlijke getallen, want tussen 2 en 3 ligt er geen ander natuurlijk getal meer, maar er liggen nog oneindig veel reële getallen tussen. De natuurlijke getallen zijn daardoor aftelbaar: we kunnen ze een voor een benoemen (ook al vormen ze samen een oneindig lange rij). Van de reële getallen kunnen we dat echter niet zeggen. 

En toch zijn we met die lange oneindige, onaftelbare rechte van getallen niet tevreden. Er blijven immers nog steeds twee bewerkingen die we binnen die reële getallen nooit kunnen uitvoeren, twee soorten vergelijkingen die we nooit kunnen oplossen. 

Om te beginnen kunnen we niet delen door nul. Daarvoor hebben wiskundigen de “getallen” -∞ en +∞ toegevoegd aan de reële getallen (en dat is voor een volgend verhaal).

Maar we kunnen ook geen wortels trekken uit een negatief getal. En dat is een probleem, als we bijvoorbeeld de vergelijking x2 + 1 = 0 op te lossen krijgen. Dat leidt ons naar -1, en dat is geen reëel getal. Wiskundigen botsten op dit probleem zodra ze tweede-, derde- en vierdemachtsvergelijkingen probeerden op te lossen. De Italianen Gerolamo Cardano (1501-1576) en later Rafael Bombelli (1526-1572) pakten dit probleem aan door een nieuw getal in te voeren, i, gelijk aan de wortel van -1. En zo werd, bijvoorbeeld, de wortel uit -9:

-9=3*-1=3isqrt{-9} = 3 * sqrt{-1} = 3i.

De complexe getallen waren geboren. 

Complexe getallen bestaan in essentie uit de som van twee delen: een reëel deel en een imaginair deel. In het complexe getal 1 + 3i is 1 het reëel deel en 3i het imaginaire deel (het deel dat verbonden is met de wortel van een negatief getal). We houden ons hier niet bezig met de wiskundige eigenschappen van complexe getallen (daar bestaan handboeken voor), maar één aspect willen we de lezer niet onthouden. Waar reële getallen immers op een rechte worden gerangschikt, zitten de complexe getallen meteen verspreid over een tweedimensionaal vlak: op de ene as staat het reëel deel, op de andere as het imaginaire deel. 

 

En voor er iemand de vraag stelt - ja, deze complexe getallen zijn zeer nuttig, niet alleen als wiskundig hulpmiddel voor het berekenen van priemgetallen, maar ook in het doorrekenen van technische vraagstukken rond wisselstromen en hydrodynamica, problemen in de quantummechanica en in de relativiteitstheorie, draadloze communicatie en zelfs de studie van hersengolven.

 

In de lessen wiskunde gebruiken we een aantal symbolen om al deze getalverzamelingen voor te stellen: Zo is er de ? voor de natuurlijke, de ? voor de gehele (van het Duitse Zahl, getal), de ? (van quotient) voor de rationale en ? voor de reële getallen. De complexe getallen verzamelen we onder de letter ?. Al deze verzamelingen zitten in mekaar genest, met de complexe getallen als allesomvattend geheel -  alle gehele getallen zijn dus ook rationaal, reëel en zelfs complex. Deze symbolen kwamen in zwang dankzij de Franse wiskundige Bourbaki. Nu ja… eigenlijk is Bourbaki een pseudonym, een nom de plume, voor een groep Franse wiskundigen die vanaf de jaren 1930 op geregelde tijdstippen samenkomt, en die zich tot doel stelt om een systematisch overzicht te maken van al wat er in de wiskunde aan kennis was en wordt vergaard.

Bron: HB, Wikimedia, CC BY-SA 4.0

 

Zijn we met de complexe getallen nu aan het eind gekomen van deze lange reeks getallenverzamelingen of bestaan er nog grotere gehelen van getallen? Uiteraard bestaan die. In 1843 ontwikkelde WIlliam Hamilton een theorie die de complexe getallen van een vlak naar een vierdimensionale ruimtelijke vorm deed opstijgen met zijn quaternionen, en zijn vriend John Graves breidde dat idee datzelfde jaar nog uit met de octonionen. En hoewel deze in de robotica, de fysica van de elementaire deeltjes en de ruimtevaart de laatste decennia opgeld zijn beginnen maken, houden wij het hier alvast gewoon bij de al voldoende complexe... complexe getallen.

 

Deze blogpost is een aanvulling op Elementair, onze podcast over wetenschap, te vinden op Spotify en op Libsyn.

Deze podcast wordt gesteund door het Fonds Ernest Solvay via de Koning Boudewijnstichting

Geplaatst door Geert op 19/02/2020 om 21:17