Magie van getallen 1: palindroomgetallen

Sommige woorden en getallen kunnen we net zo goed van achter naar voor als van voor naar achter lezen: denk maar aan woorden als kajak, legovogel en meetsysteem. We noemen dit spiegelwoorden of palindromen. Ook hele zinnen kunnen wel eens in twee richtingen worden gelezen: een mooi voorbeeld is “Nelli plaatst op 'n parterretrap 'n pot staalpillen”. Op verschillende doopbekkens en in kerken vindt men de tekst

Nιψον ανομηματα μη μοναν οψιν

vertaald als “Was je zonden weg en niet enkel je gezicht”.

 

De doopvont van de St Martin's Church, Ludgate Hill, Londen
Andrewrabbott, Wikimedia, CC BY-SA 4.0

De muziek kent ook enkele mooie voorbeelden van palindromen. Zo is er Symfonie nr. 47 in G van Joseph Hayden. De derde beweging van dit stuk bestaat uit een menuet, een trio en een herhaling van het menuet, in het menuet is de tweede helft een omkering van de eerste helft, en ook het trio bestaat uit twee omgekeerde helften.

 

 

Een ander schitterend voorbeeld is het Rondo 14 van de middeleeuwse Noord-Franse componist Guillaume de Machaut, “Ma fin est mon commencement” (vertaald, mijn eind is mijn begin, wat meteen een mooie beschrijving is van wat een palindroom juist is). Wie meer details wil, moet onderstaande video zeker beluisteren en bekijken.

 

 

 

Wiskundigen definiëren palindroomgetallen als getallen die hetzelfde blijven wanneer hun cijfers in omgekeerde volgorde worden gezet, zoals 912219, 8 en 121. De eerste 30 palindroomgetallen (in decimalen) zijn 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, 101, 111, 121, 131, 141, 151, 161, 171, 181, 191 en 202.

Andere getallen kunnen via een simpele reeks bewerkingen (zeg maar, een eenvoudig algoritme) worden omgezet in palindroomgetallen. Daarvoor nemen we het getal, keren we het om, en tellen we beide getallen met mekaar op. Dit wordt herhaald tot we uiteindelijk op een palindroomgetal uitkomen (en dat noemen we dan een vertraagd palindroomgetal). Neem het getal 97152, en zijn omgekeerde 25179. Optellen van beide getallen geeft

97152 + 25179 = 122331

wat nog steeds geen palindroom is. Herhalen we deze procedure, komen we op

122331 + 133221 = 255552

en dat is een palindroomgetal.

Het bovenstaande voorbeeld is nog eenvoudig. Alleen houden wiskundigen ervan om de grenzen van het mogelijke op te zoeken, en hebben ze dit met steeds grotere getallen geprobeerd. Zo zijn er 261 herhalingen nodig van het algoritme om te besluiten dat het getal 1.186.060.307.891.929.990 finaal uitkomt op het palindroomgetal

44562665878976437622437848976653870388884783662598425855963436955852489526638748888307835667984873422673467987856626544

Op 24 januari 2017 werd aangetoond dat 1.999.291.987.030.606.810 het tot dan toe grootste vertraagde palindroomgetal was, en maar liefst 125 261 herhalingen van het algoritme vereist voor dat finale palindroom te bereiken.

Wil dat zeggen dat finaal alle getallen op palindromen uitkomen, of zijn er die dat nooit zullen doen, onafhankelijk van het aantal keer dat het algoritme wordt herhaald? Dat is nog maar de vraag. Blijkbaar is het tot nog toe onmogelijk gebleken om het getal 196 om te zetten in een palindroomgetal, zelfs na 700 miljoen stappen. Niet dat dat wil zeggen dat het definitief onmogelijk is (daarvoor hebben wiskundigen een veel strikter en eleganter bewijs nodig). Mocht er zo een getal bestaan, is er al wel een naam voor: een Lychrelgetal (en die naam is een soort anagram van Cheryl, het lief van de palindroomgetallenliefhebber Wade VanLandingham). Voor wie het zich afvraagt – er bestaan wel degelijk Lychrelgetallen in andere talstelsels, zoals het binaire (10110), het elftallige (83A) en het zesentwintigtallige (OP). Maar dat laten we voorlopig over aan de echte amateur-getalkundigen.

 

Deze blogpost is een aanvulling op Elementair, onze podcast over wetenschap, te vinden op Spotify en op Libsyn.

Deze podcast wordt gesteund door het Fonds Ernest Solvay via de Koning Boudewijnstichting


 
Geplaatst door Geert op 02/02/2020 om 14:12