De gulden snede, deel 2: over architectuur en muziek

De wiskunde achter de gulden snede hebben we reeds eerder uitgelegd, en we toonden aan hoe ze terugkomt in geometrische figuren zoals het pentagram en in natuurlijke vormen zoals de romanesco-kool en de zonnebloem.

 

 

Links: Zonnebloem (Bron: Clay Junell, Flickr, CC BY-SA 2.0)
Rechts: Romanesco-kool (Bron: Paul McCoubrie, Flickr, CC BY-ND 2.0)

De gulden snede duikt echter niet enkel op in de natuur. De architectuur en de beeldende kunst zitten vol voorbeelden van kunst en kunstenaars die de gulden snede al dan niet bewust hebben toegepast. De School van Athene, een van de bekendste schilderijen van de renaissancemeester Rafael, zit vol met verhoudingen die terug te voeren zijn op de gulden snede, net als de gekleurde vlakken van Mondriaan of de Geboorte van Venus van Botticelli . Wie dit verder wil uitzoeken, kan terecht op de Golden Number-blog van Gary Meisner.

 

Piet Mondriaan [1872-1944]: Compositie met groot rood vlak, geel, zwart, grijs en blauw (uit 1921)
Bron: Kunstmuseum Den Haag, Publiek domein

 

Een topvoorbeeld is volgens velen het Parthenon, een van de antieke Griekse bouwwerken op de Akropolis in Athene. Het bouwwerk uit de vijfde eeuw voor Christus, ontworpen door de wiskundige en beeldhouwer Phidias, zou vol zitten met gulden snedes.

 

Parthenon
Bron: Florestan, Wikimedia, CC BY 3.0

 

Bij restauratiewerken bleek echter dat Phidias echter veeleer de verhouding 4:9 had gebruikt: het gebouw is bijvoorbeeld 30,8 m breed en 69, 51 meter lang, en eenzelfde verhouding komt terug in het fronton, en in de afmetingen van de zuilengalerijen. Wie meer wil weten over het Parthenon, kan daar een bijzonder mooie documentaire over bekijken (op Youtube).

 

Zelfs muzikanten verwerken de gulden snede in hun stukken. Het bekendste muziekstuk dat de gulden snede gebruikt, is wellicht de eerste beweging van de Vijfde Symfonie van Beethoven, hieronder te horen in een uitvoering onder leiding van Leonard Bernstein:

 

Voor wie nu denkt dat we op alle slakken zout leggen – uiteraard is dat mogelijk, maar in dit geval gebruiken we de uitgebreide analyse van Derek Haylock in een artikel in Mathematics Teaching uit 1978. De Vijfde van Beethoven begint met het beroemde noodlotmotief (hieronder weergegeven), zo genoemd omdat het lijkt alsof het noodlot aanklopt bij aanvang van de symfonie (of dat was althans de interpretatie die Anton Schindler, de secretaris van Ludwig van Beethoven, eraan wilde geven).

 

Het openingsmotief van Beethovens vijfde symfonie heeft tevens een betekenis in morse: de sequentie “kort-kort-kort-lang” komt overeen met de letter V, net als de twee opgestoken vingers een symbool voor het woord victory, overwinning. Tijdens de Tweede Wereldoorlog gebruikte de BBC het motief daarom als herkenningsmelodie, en The Longest Day, een Amerikaanse oorlogsfilm uit 1962 over de landing in Normandië, gebruikt de Vijfde van Beethoven om dezelfde reden als muzikale score.

 

Dit motief van vijf maten komt drie keer voor in de hele eerste beweging, die in totaal 605 maten telt. Het aantal maten voor dat tweede motief is 377, erna volgen nog eens 233 maten. 233/377 = 0,618 – en daar verschijnt de gulden snede.

En er is meer. De beweging begint namelijk met een expositie waarin de twee belangrijkste muzikale thema’s worden voorgesteld. Die expositie bestaat uit drie delen: 24 maten voor het eerste thema (afgerond met een licht aangepaste versie van het motief); vervolgens 38 maten waarin de componist speelt met dat eerste thema (en weer afgesloten met een variant van het motief), en dan weer 62 maten waarin hij het tweede thema aanpakt. 24:36 leert een gulden snede op, maar ook 38:62! Wie wil meetellen, kan dat trouwens met deze korte video van die eerste 124 maten:

Het stuk eindigt bovendien met een bijzonder lang coda (eindspel) van 129 maten lang. na 49 maten begint de componist echter met een volledig nieuw muzikaal thema (in een coda, waar normaal geen nieuw thema in verscheen), en de componist deelt zo het coda op in 49:80… alweer een gulden snede!

Een andere componist, van wie we wel degelijk vermoeden dat hij speelde met wiskundige patronen in zijn muziek is de hedendaagse Hongaarse componist Béla Bartók (1881–1945), bijvoorbeeld in het onderstaande werk.

 

Dat vermoeden hebben we overigens te danken aan de Hongaarse musicoloog Ernö Lendvai.Hij vindt in de eerste beweging van Bartok’s Music for strings, percussion and celesta verschillende wiskundige verhoudingen terug. Het stuk is om te beginnen 89 maten lang, en het hoogtepunt van de beweging vindt plaats aan het einde van maat 55. He stuk valt daarom uiteen in een deel van 55 maten en een van 34. Dit zijn twee Fibonacci-getallen, en hun onderlinge verhouding (34/55) levert bij benadering de gulden snede op. Weliswaar hebben andere musicologen hun bedenking bij het werk van Lendvai (en wie over die discussie meer wil weten, bekijkt best deze presentatie van Gareth Roberts eens).

Ook in de derde beweging van dit werk duikt de Fibonacci-rij op, wat te zien is in onderstaande notenbalk:

De xylofoonsolo on de opening heeft een ritmisch patroon van 1: 1: 2: 3: 5: 8: 5: 3: 2: 1: 1 en gaat eerst in crescendo, en daarna weer in decrescendo.

Niet dat dit nu de enige voorbeelden zijn van Fibonacci en de gulden snede in de muziek. Ook de pianosonates van Mozart zouden voorbeelden bevatten van de gulden snede, maar weerom zijn niet alle musicologen ervan overtuigd, en moeten zelfs de bestaande voorbeelden af en toe een beetje foefelen om de gulden snedes en Fibonaccigetallen echt te laten kloppen. Of dat al die wiskundige patronen overigens de reden zijn dat we deze muziek zo fascinerend mooi vinden, is bovendien al helemaal verre van opgehelderd.

 

Deze blogpost is een aanvulling op Elementair, onze podcast over wetenschap, te vinden op Spotify en op Libsyn.

Deze podcast wordt gesteund door het Fonds Ernest Solvay via de Koning Boudewijnstichting

Geplaatst door Geert op 02/02/2020 om 13:37